Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH

423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM (gần nhà thờ Phú Bình). ĐT: (08) 7305 7668

Archive for Tháng Ba, 2009

Đường vào trường Phổ Thông Năng Khiếu: Đề thi thử toán không chuyên

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 31, 2009

Download hướng dẫn giải tại  Đây (đã đính chính)

Bài 1: Cho phương trình \dfrac{mx^2+ (5-8m) x + m}{(x+1)\sqrt{x}}= 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x= 1. Giải phương trình với những giá trị m vừa tìm được.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 2.

a) Giải bất phương trình |x-2| < \sqrt{x^2-3x+2}

b) Giải hệ phương trình \left\{\begin{array}{c}{x+y^2 = 5}\\{y+x^2=5}\end{array}\right.

Bài 3. Cho đường tròn (O;R) và dây cung BC = R \sqrt{3}. A là một điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H (D \in BC, E \in AC, F \in AB). AO cắt (O) tại P và cắt EF tại I.

a) Tính \widehat{BAC}

b) Chứng minh tứ  giác DHIP nội tiếp.

c) Chứng minh rằng đường trung trực của OH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.

Bài 4.

a) Cho x\sqrt{4-y^2} + y \sqrt{4-x^2} = 4. Tính x^2 +y^2

b) Giải phương trình x + \sqrt{26-x^2} + 3x\sqrt{26-x^2} = 21

Bài 5. Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải được 100 bài toán, biết rằng mỗi bạn giải được 60 bài. Ta gọi bài toán là khó nếu chỉ có một bạn giải được bài đó. Ta gọi bài toán là dễ nếu cả ba bạn đều giải được nó. Tính hiệu số giữa số bài toán khó và số bài toán dễ.

Đăng trong Lớp 9 | Tagged: | 5 phản hồi »

Đề số 3

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 29, 2009

Hướng dẫn giải đề số 2

I. Phần chung

Câu 1 (2 đ) Cho  hàm số y = \dfrac{(2m-1)x -m^2}{x-1} (1)  ( m là tham số )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = -1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Câu 2 (2 điểm)

a) Giải phương trình 2 - \sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x = 4 \cos^2 3x

b) Giải hệ phương trình \left\{\begin{array}{c}{x^2 + y^2 + \dfrac{2xy}{x+y}=1}\\{\sqrt{x+y} = x^2-y}\end{array} \right.

Câu 3 (1 đ) Tính tích phân I = \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{\sin x dx}{(\sin x+ \cos x)^3}

Câu 4 (1 đ) Cho hình lăng trụ ABC .A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 2a, A'M \bot (ABC) và A'M =\dfrac{\sqrt{3}}{2} (trong đó M là trung điểm của cạnh BC). Tính thể tích của khối đa diện ABA'B'C

Câu 5 (1 đ) Cho x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \sqrt{x^2 + y^2 -4y+4} + \sqrt{x^2 +y^2 +4y+4} + |x-4|

I. Phần riêng

A. Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (2 đ)

a) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(3;1;1), B(7;3;9), C(2;2;2) và mặt phẳng (P): x + y + z = 3. Tìm trên (P) điểm M sao cho | \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} | nhỏ nhất.

b) Cho Elip có phương trình (E): \dfrac{x^2}{100} + \dfrac{y^2}{25} = 1. Tìm các điểm M thuộc Elip sao cho \widehat{F_1MF_2} = 120^o ( F_1, F_2 là hai tiêu điểm của Elip)

Câu 7a (1 đ)

Gọi a_1, a_2,...,a_{11} là các hệ số trong khai triển sau (x+1)^{10}.(x+2) = x^{11}+ a_1.x^{10}+ a_2.x^9 + ...+ a_{11}

Tìm hệ số a_ 5

B. Theo chương trình nâng cao

Câu 6b (2 đ)

a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;1;2) và đường thẳng (d): \dfrac{x-2}{1}= \dfrac{y}{1} = \dfrac{z-3}{1} . Tìm trên (d) hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.

b) Trong mặt phẳng vớ hệ trục Oxy cho đường tròn (C): (x-3)^2 + (y-4)^2 = 35 và điểm A(5;5). Tìm trên đường tròn hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Câu 7b (1 đ)

Giải hệ phương trình \left\{\begin{array}{c}{log_{_{2009}} \dfrac{2y}{x} = x-2y}\\{\dfrac{x^3+y^3}{xy} = x^2+y^2}\end{array}\right.

Đăng trong Chuyên đề THPT, Lớp 12, Môn Toán | Tagged: , , , | 3 phản hồi »

Số phức (tt)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 28, 2009

III. Dạng lượng giác của số phức.

1. Chuyển đổi ra dạng lượng giác của các số phức

Ví dụ 1. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác

a) z = 2i                      b) z = 1 + i \sqrt{3}                          c) z= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{i \sqrt{2}}{2}

Hướng dẫn giải

Chú ý:

Để chuyển đổi một số phức dạng đại số z = x + yi sang dạng lượng giác z = r \cos \alpha + r \sin \alpha (trong đó r = |z| là modul của số phức và \alpha = Arg z ta làm như sau:

  • Tính modul của z : r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
  • Tìm Argumen  của z bằng cách sau: Đặt \alpha = Arg z (0 \le \alpha \le 2 \pi)  thì \cos \alpha = \dfrac{a}{r}, \sin \alpha = \dfrac{b}{r}

a) Ta có |z| = 2.

Đặt \alpha = Arg z thì \sin \alpha =\dfrac{2}{2} = 1 \cos \alpha =\dfrac{0}{2}=0. Suy ra \alpha = \dfrac{\pi}{2}

Vậy z = 2 \cos \dfrac{\pi}{2} + 2 \sin \dfrac{\pi}{2}

b) r =|z| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2

Đặt \alpha = Arg z thì \sin \alpha = \dfrac{1}{2}, \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Ta chọn \alpha = \dfrac{\pi}{6}

Vậy z = 2 \cos \dfrac{\pi}{6} + 2 \sin\dfrac{\pi}{6}

c) r= |z| = \sqrt{\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1

Đặt \alpha = Arg z thì \cos \alpha = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}. Chọn \alpha = \dfrac{3\pi}{2}. Khi đó ta có: z = \cos \dfrac{3 \pi}{2} + i \sin \dfrac{3 \pi}{2}

Ví dụ 2. Tìm dạng lượng giác của số phức z = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha (0 \le \alpha \le 2 \pi)

Hướng dẫn giải

Ta cóz = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha = 2 \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}

Nếu 0 \le \alpha \le \pi thì 0 \le \dfrac{\alpha}{2} \le \dfrac{\pi}{2}, suy ra \cos \dfrac{\alpha}{2} \ge 0. Do đó, dạng lượng giác của z:

z = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \left( \cos \dfrac{\pi}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)

Với r = |z| = \cos \dfrac{\alpha}{2} và Arg z = \dfrac{\alpha}{2}

Nếu \pi \le \alpha \le 2 \pi thì \dfrac{\pi}{2} \le \dfrac{\alpha}{2} \le \pi, suy ra \cos \dfrac{\alpha}{2} \le 0.

Khi đó dạng lượng giác của z là z = -2 \cos \dfrac{\alpha}{2} (- \cos \dfrac{\alpha}{2} - i \sin \dfrac{\alpha}{2})

= -2 cos \dfrac{\alpha}{2} (\cos (\dfrac{\alpha}{2} + \pi) + i \sin (\dfrac{\alpha}{2} + \pi))

Với z = |z| = -2 \cos \dfrac{\alpha}{2}, Arg z = \dfrac{\alpha}{2} + \pi

Bài tập.

Bài 1. Chuyển đổi các số phức sau ra dạng lượng giác

a) z = 6 + 6 \sqrt{3} i          b) z = \dfrac{-1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2}

c) z= 3 - 2i

Bài 2. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác

a) z = \cos a - i \sin a        b) z = \sin a + i (1 + \cos a)          c) \cos a + \sin a + i (\sin a - \cos a)

Bài 3. Tính (1 - \cos \alpha + i \sin \alpha)^n với \alpha \in [0, 2 \pi), n \in N

Đăng trong Chuyên đề THPT, Lớp 12, Số phức | Tagged: , , | Leave a Comment »

Các bài toán cực trị trong hình học tọa độ phẳng và không gian (Phần 1)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 20, 2009

Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng toán cực trị trong phương pháp tọa độ (mặt phẳng và không gian).

I. Cực trị trong mặt phẳng

1. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng

Bài 1. Cho đường thẳng (d): x + y + 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(2;0). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho:

a) MA + MB nhỏ                b) |MA - MB| lớn nhất

Hướng dẫn giải

Trước tiên ta kiểm tra A, B nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng (d). Ta có:

(x_A + y_A + 1)(x_B+y_B+1) = (2+3+1)(2+0+1) = 18 > 0

Suy ra A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng (d).

a) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d) và H là giao điểm của AA' với (d). Khi đó H là trung điểm của AA'.

Phương trình đường thẳng (AA'): 1.(x-2) - 1.(y-3) = 0 hay x - y + 1 =0

Tọa độ của H là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+y + 1 = 0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.

Suy ra tọa độ A'(-4;-3)

Gọi M_o là giao điểm của A'B và (d)

Phương trình đường thẳng (A'B): 1.(x-2) - 2.(y-0) = 0 hay x - 2y - 2 = 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+y + 1 = 0}\\{x-2y-2=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.

Khi đó M(0;-1) là điểm cần tìm. Thật vậy:

Với mọi điểm M' \in (d) ta có M'A + M'B = M'A' + M'B \ge A'B = MA + MB và dấu = xảy ra khi và chỉ khi M' \equiv M

b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:

Ta có |MA - MB| \le AB. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Mà A, B cùng phía đối với đường thẳng (d) nên điểm M cần tìm chính là giao của đường thẳng AB và đường thẳng (d)

Phương trình đường thẳng (AB): x = 2. Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là M(2;-3)

Bài 2. Cho đường thẳng (d): x + 2y - 2 = 0 và hai điểm A(2;0), B(-2;6). Tìm điểm N trên đường thẳng (d) sao cho:

a) NA + NB là nhỏ nhất           c) |NA-NB| lớn nhất

Hướng dẫn giải

Trước tiên ta kiểm tra A, B cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có

(x_A+2y_A-2)(x_B+2y_B-2) = (1-2.0-2)(1. (-2) + 2.6 - 2) = -8 < 0, suy ra A, B khác phía đối với đường thẳng (d)

a) Ta có NA + NB \ge AB và dấu  “=”  xảy ra khi và chỉ khi N nằm giữa A, B hay N là giao của đường thẳng AB và (d) (Vì A, B khác phía đối với đường thẳng (d)).

Phương trình đường thẳng (AB): 2x + y - 2 = 0

Tọa điểm N là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+2y -2 = 0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=\dfrac{2}{3}}\\{y=\dfrac{2}{3}}\end{array}\right.

Vậy N(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}) là điểm cần tìm.

b) Để ý rằng A, B là khác phía đối với đường thẳng (d) nên khi áp dụng bất đẳng thức |NA-NB| \le AB thì  không tồn tại N \in (d) để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải làm như sau:

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).Khi đó ta có

|NA-NB| = |NA'-NB| \le |A'B|. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi N thuộc đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB hay N là giao điểm của A'B và (d)

Ta tính được tọa độ điểm A' là A'\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{4}{5}\right)

Phương trình đường thẳng (A'B): 26 (x+2) +17(y-6)=0 hay 26x - 17y - 53 = 0

Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+2y -2 = 0}\\{26x-17y+-53=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=\dfrac{74}{35}}\\{y=\dfrac{2}{35}}\end{array}\right.

Vậy tọa độ điểm N cần tìm là N\left(\dfrac{74}{35}; \dfrac{2}{35}\right)

Bài 3. Cho đường thẳng (d): x + y + 1 = 0   và hai điểm A(2;3), B(-4;1). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho:

a) |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}| nhỏ nhất.     b) 2MA^2 + 3MB^2 nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Gọi I  là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |2\overrightarrow{MI}| = 2MI

Vậy |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}| nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của I trên (d).

Tọa độ điểm I(-1;2)

Phương trình đường thẳng (d') qua I và vuông góc với (d) là: x - y + 3 = 0

Khi đó M cần tìm chính là giao điểm của (d) và (d'). Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{x + y + 1 = 0}\\{x- y + 3 = 0}\end{array} \right.   \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.

Vậy M(-2;1) là điểm cần tìm.

b) Gọi điểm J là điểm thỏa 2\overrightarrow{JA} + 3\overrightarrow{JB} = 0.

Khi đó ta có 2MA^2 + 3MB^2 = 2(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA})^2+3(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB})^2

= 5MJ^2 + 2JA^2 + 3JB^2 + 2\overrightarrow{MJ}(2\overrightarrow{JA} + 3\overrightarrow{JB})

= MJ^2 + 2JA^2 + 3JB^2

Ta có J là cố định, nên 2JA^2 +3JB^2 không đổi. Do đó 2MA^2 + 3MB^2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MJ nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của J trên đường thẳng (d)

Tọa độ điểm J\left(\dfrac{-8}{5};\dfrac{9}{5}\right)

Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M\left(\dfrac{-11}{5};\dfrac{6}{5}\right)

Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng |\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}| hoặc \alpha MA^2 + \beta MB^2

(Còn nữa)

Đăng trong Chuyên đề THPT, Hình học, Hình tọa độ, Lớp 10 | Tagged: , , | 3 phản hồi »

Số phức (tt)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 18, 2009

II. Các bài toán về phương trình

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) z^2 = 2i                  b) z^2 + z+ 2 = 0                   c) z^2 + z+ \dfrac{\sqrt{3}}{4} i = 0

Bài 2. a) Tìm các số thực b,c để phương trình z^2 + bz+c =0 nhận z = 1 + i làm nghiệm. Chứng minh khi đó nghiệm còn lại là 1 - i

b) Cho phương trình z^3 + (3+i)z^2 -3z -(m+i)=0 (1) , trong đó m là số thực.

1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.

2. Tìm m để phương trình nhận z = 1 + i là nghiệm.

Hướng dẫn giải

Chú ý:

  1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức az^2 + bz+ c= 0

Bước 1. Đặt \triangle = b^2 - 4ac (hoặc \triangle ' = b'^2 - ac)

Bước 2. Tìm một căn bậc hai \delta của \triangle.

Bước 3. Phương trình có hai nghiệm z_1 = \dfrac{-b+\delta}{2a} và z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}

2.   Cách tìm căn bậc hai của z = a+bi. Tức là tìm z' sao cho z'^2=a+bi

Đặt z' = x+yi (x,y \in R). Ta có a+ bi = z'^2= (x+yi)^2= (x^2-y^2) + 2xyi

Suy ra (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=a}\\{2xy}=b\end{array}\right.

Ta tìm các số thực x, y thỏa hệ (I)

Bài 1.

a) Ta đi tìm căn bậc hai của 2i. Đặt z = x+yi, trong đó x, y là các số thực. Khi đó ta có hệ (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=0 \,\,(1)}\\{2xy}=2 \,\,(2)\end{array}\right.

Từ (1), \Rightarrow x=\pm y

Trường hợp 1: x = y, thế vào (2) ta có x^2= 1 \Rightarrow x = 1 hoặc x = -1

  • Với x = 1 thì y = 1
  • Với x = -1 thì y = -1

Trường hợp 2: x = - y thế vào (2) ta có x^2 = -1 (không tồn tại x vì x \in R

Vậy phương trình có hai nghiệm z_1 = 1+i, z_2 = -1-i

b) Ta có \triangle = 1^2-4.2 = -7 = (\sqrt{7} i)^2

Vậy phư ơng trình có hai nghiệm

z_1 =\dfrac{-1+i\sqrt{7}}{2} , z_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{7}}{2}

c)Ta có  \triangle = 1 - i \sqrt 3

Ta đi tìm một căn bậc hai \delta của \triangle

Đặt \delta = x+yi

Khi đó ta có hệ (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=1 \,\,(1)}\\{2xy}=\sqrt{3} \,\,(2)\end{array}\right.

Thế y = \dfrac{\sqrt{3}}{2x} vào (1), ta có x^2- \dfrac{3}{4x^2} = 1

4x^4-4x^2-3=0

\left[\begin{array}{c}{x^2=\dfrac{3}{2}}\\{ x^2=-\dfrac{1}{2} (l)}\end{array}\right.

Với x^2 = \dfrac{3}{2}   suy ra  x =\pm \dfrac{\sqrt 6}{2}

Với x = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{\sqrt 2}{2}

Chọn \delta = \dfrac{\sqrt 6}{2} + \dfrac{i\sqrt{2}}{2}. Phương trình có hai nghiệm

z_1=\dfrac{-1+\dfrac{\sqrt 6}{2}+\dfrac{i\sqrt 2}{2}}{2}, z_2=\dfrac{-1-\dfrac{\sqrt 6}{2}-\dfrac{i\sqrt 2}{2}}{2}

Bài 2. a) Vì z = 1+i   là nghiệm của phương trình nên ta có (1+i)^2 + b(1+i) + c = 0.

Hay (b+c) +(2+b)i = 0

Suy ra b+c = 0 vàb+2 = 0

Giải ra ta được b = -2, c = 2 Vậy phương trình trở thành z^2 -2z+2 = 0

\triangle ' = 1-2=-1=i^2

Phương trình có hai nghiệm z_1 =1+i, z_2=1-i

b) Giả sử a \in R là một nghiệm thực của phương trình (1). Khi đó ta có:

a^3 +(3+i)a^2 - 3a - (m+i)=0

\Leftrightarrow (a^3+3a^2-3a-m) + (a^2-1)i = 0

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{a^2-1=0}\\{a^3+3a^2-3a-m=0}\end{array}\right.

Giải hệ ta được m = 1 hoặc m = 5

2. Vì z=1+i là nghiệm của phương trình nên ta có:

\Leftrightarrow (1+i)^3 +(3+i)(1+i)^2 -3(1+i) -(m+i)=0

\Leftrightarrow (1 -3+3i -i) + (3+i)(2i) - (3+3i) -(m+i) =0

\Leftrightarrow (-2+2i) +(-2 + 6i) -(3+3i) -(m+i)=0

\Leftrightarrow (-m-7) +4i = 0

Ta có 4 \neq 0 nên không tồn tại m để phương trình (1) nhận z = 1+ i là nghiệm.

II. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) iz^2+(1+2i)z+1=0             b) (1+i)z^2 + 2z + 11i = 0

c) z^4 + 6(1+i)z^2 + 5+ 6i = 0

Bài 2 Tìm các số phức z thỏa

a) |z| - 2z = 3 - 4i                 b) z^3 = 2+ 11i

Bài 3. Tìm b để phương trình (1-i)z^2 + 2(3-2i)z-12 -bi = 0 có một nghiệm phức là z_1 = 1+ i

Hãy tìm nghiệm còn lại. (đề thi thử khối B trường Phổ Thông Năng Khiếu 2009)

Đăng trong Chuyên đề THPT, Lớp 12, Số phức | Tagged: , , | Leave a Comment »

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 cấp TPHCM năm 2009

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 15, 2009

Đăng trong Lớp 9 | Tagged: | 2 phản hồi »

Số phức: Các bài tập về tính toán

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 14, 2009

Số phức (Complex numbers) là nội dung mới trong chương trình phổ thông. Số phức lịch sử phát triển khá thú vị và khi người ta chấp nhận nó thì toán học có bước đột phá mạnh. Số Phức có ứng dụng rất nhiều trong toán học cũng như  các ngành khoa học khác. Điển hình là định lý cơ bản của Đại số “Phương trình hệ số phức bậc n thì có đúngn nghiệm” – Đây là định lý cơ bản của đại số tuy nhiên không có một phương pháp đại số nào để giải, còn khi sử dụng công cụ số phức thì người ta chỉ tốn có vài dòng để chứng minh. Số phức cũng gắn liền với hình học một cách mật thiết, ví dụ: phép biến đổi w = z+b tương ứng là một phép tịnh tiến theo \overrightarrow{b}, nếu ta hiểu rõ ý nghĩa hình học của số phức ta sẽ thấy rất thú vị. Ngoài ra số phức còn ứng dụng nhiều trong lý thuyết số vá các ngành khoa học khác.

Để tìm hiểu rõ hơn lịch sử của số phức tôi xin giới thiệu bài báo:

Shorthistorycomplexnumbers2006  (Phiên bản tiếng Anh – vì chưa có thời gian để dịch)

Kiến thức về số phức được giới thiệu trong chương trình phổ thông khá đơn giản: Định nghĩa số phức ở dạng đại số và dạng lượng giác; các phép toán ứng với từng dạng trên; Ngoài ra còn giới thiệu cách tính căn bậc hai của số phức và cách giải phương trình bậc hai hệ số phức. Đối với chương trình phổ thông thì khối lượng kiến thức như thế là vừa phải và phù hợp.

Nhìn chung bài tập về số phức cũng khá phong phú nhưng tựu trung thì có các dạng sau:

  1. Các bài tập về tính toán.
  2. Bài tập về giải phương trình hệ số phức, tìm số phức z thỏa một điều kiện cho trước.
  3. Các bài toán về quỹ tích.
  4. Chuyển đổi giữa dạng đại số và dạng lượng giác; các ứng dụng của công thức Moivre.

Để giải bài tập về số phức thì chỉ cần hiểu được các định nghĩa, các phép toán và các kỹ năng về giải hệ phương trình 2 ẩn bậc cao.

Từ hôm nay chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài tập giúp cho các em làm quen với Số Phức.

I. Các bài tập tính toán

Bài 1. Tính các số phức sau (Tức là đưa về dạng z = x+ yi)

a) \dfrac{3+7i}{2+3i} +\dfrac{5-8i}{1+2i}                  b) \dfrac{1-2i}{3-\sqrt{3}i} - \dfrac{1-2i}{3+\sqrt{3}i}

c) \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{16}+\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8

Bài 2. Cho z = -\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt3}{2}i. Tính \dfrac{1}{z}, \overline{z}; z^2; (\overline{z})^3; 1+ z + z^2.

Hướng dẫn:

Bài 1.

Nhận xét: Để tính biểu thức có dạng z = \dfrac{a+bi}{c+di} ta nhân tử với mẫu với c - di. Khi đó mẫu sẽ là c^2+d^2

Khi có nhiều hơn 1 số hạng có dạng trên thì phải tính riêng từng biểu thức, và không quy đồng, tức là không biến đổi như  sau:

\dfrac{z_1}{z_2} + \dfrac{z_3}{z_4} = \dfrac{z_1.z_4+z_2z_3}{z_2.z_4}

a) Ta có:

\dfrac{3+7i}{2+3i} +\dfrac{5-8i}{1+2i} = \dfrac{(3+7i)(2+3i)}{13}+\dfrac{(5-8i)(1-2i)}{5}

=\dfrac{-15+23i}{13}+\dfrac{-11-18i}{5}=\dfrac{-218}{65}-\dfrac{119}{65}i

b) Dành cho bạn đọc.

c) Nhận xét: Để tính các lũy thừa bậc cao của số phức thì ta có thể biến đổi các số phức về dạng lượng giác, sau đó áp dụng công thức Moivre.

Tuy nhiên trong từng bài cụ thể ta có thể có cách tính khác mà không cần phải chuyển về dạng lượng giác, đây là một ví dụ cho trường hợp đó.

Ta có:

\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{(1+i)(1+i)}{2}=\dfrac{2i}{2}=i

Và \dfrac{1-i}{1+i}=\dfrac{(1-i)(1-i)}{2}=\dfrac{-2i}{2}=-i

Vậy \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{16}+\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^8=i^{16} + (-i)^8=2

Bài 2 Bài này ôn lại các khái niệm về số phức liên hợp, modul của số phức,…

  • \dfrac{1}{z}=\dfrac{2}{-1+\sqrt{3}i}=\dfrac{2(-1-\sqrt{3}i)}{4}=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • \overline{z}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
  • z^2=\left(-\dfrac{1}{2} +\dfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)^2 = \dfrac{1}{4} -\dfrac{3}{4}-\dfrac{\sqrt {3}}{2}i=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt {3}}{2}i
  • \overline{z}^3=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)^3=\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt {3}}{2}i\right)\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)= 1
  • 1 + z+ z^2 = 1+ \left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)+\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)=0

II. Bài tập tự luyện

Bài toán. Cho z_1 = 1+2i, z_2=-2+3i; z_3=1-i. Tính các số phức sau:

a) z_1 + z_2+z_3             b) z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1               c)z_1z_2z_3

d) \overline{z_1}^2 - \overline{z_2}^2     e) \dfrac{z_1}{z_2}+\dfrac{z_2}{z_3}+\dfrac{z_3}{z_1}

Đáp số

a) 4i

b) - 4 + 5i

c)- 9 + 7i

d) 2 - 16i

e)

Đăng trong Lớp 12, Môn Toán | 3 phản hồi »

Mỗi tuần một đề luyện thi Đại học: Đề số 2

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 13, 2009

Hướng dẫn giải đề số 1

I. Phần chung

Câu 1 (2đ). Cho hàm số y = \dfrac{2x-1}{x-1}  (C)

  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
  2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM

Câu 2. (2đ)

  1. Giải phương trình cos(\dfrac{x}{2}-\dfrac{\pi}{6})+cos(\dfrac{\pi}{3}-x)+cos(\dfrac{3x}{2}-\dfrac{\pi}{2})+sin(2x-\dfrac{\pi}{6})=0
  2. Giải phương trình \sqrt[4]{x-\sqrt{x^2-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}=2

Câu 3. (1đ)Trong không gian cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \widehat{ABC}=60^o, chiều cao SO của hình chóp bằng \dfrac{a\sqrt{3}}{2} , trong đó O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Gọi M là trung điểm của AD, (P) là mặt phẳng chưa BM và song song với SA cắt SCtại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM

Câu 4. (1đ) (H)là hình phẳng giới hạn bởi các đường (C): x = (y-1)^2+1, (d): y = -x+4. Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng (H) tạo ra khi (H) quay quanh trục Oy.

Câu 5.(1đ) Cho các số x, y, z là các số dương thỏa x^2 + y^2 + z^2=1. Chứng minh rằng:

\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{y^2+x^2} \ge \dfrac{3\sqrt 3}{2}

II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

A. Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (2đ)

  1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C)tâm O bán kính R = 5 và điểm M(2;6). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích lớn nhất.
  2. Trong hệ trục tọa độ cho mặt phẳng (P): x + y + z + 3 =0 và điểm A(0;1;2). Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua (P).

Câu 7a.(1đ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau.

B. Theo chương trình nâng cao

Câu 6b. (2 đ)

  1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh C(4;3). Biết đường phân giác trong (AD):x+2y-5=0 và trung tuyến (AM):4x+13y-10=0 . Tìm tọa độ đỉnh B.
  2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng :

(\triangle 1) \left\{\begin{array}{c}{x-8z+23=0}\\{y-4z+10=0}\end{array}\right. và             (\triangle 2):\left\{\begin{array}{c}{x-2z-3=0}\\{y+2z+2=0}\end{array}\right.

Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (\triangle 1) , (\triangle 2)

Câu 7b.(1đ) Tìm a để hệ

\left\{\begin{array}{c}{3^x-4\ge5^{x/2}}\\{1+log_2(a-x) \ge log_2(x^4+1)}\end{array}\right.

có nghiệm.

Hết

Đăng trong Lớp 12, Môn Toán | 7 phản hồi »

Mỗi tuần một đề thi đại học: Đề số 1

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 4, 2009

I. Phần chung

Câu 1 (2 điểm)

Cho hàm số y = \dfrac{2x-4}{x+1}    (C)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3;0), N(-1;-1)

Câu 2 (2 điểm)

1. Giải phương trình 4cos^4x -cos(2x)-\dfrac{1}{2}cos(4x) + cos\dfrac{3x}{4} =\dfrac{7}{2}

2. Giải phương trình 3^x.2x=3^x+2x+1.

Câu 3 (1 điểm)

Tính tích phân: I = \int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\left(\dfrac{1+sinx}{1+cosx}\right).e^x dx

Câu 4 (1 điểm)

Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, \widehat{ASB} = 60^o, \widehat{BSC}=90^o, \widehat{CSA} = 120^o

Bài 5 (1 điểm).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =\sqrt{log_2^2x+1}+\sqrt{log_2^2y+1}+\sqrt{log_2^2z+1}

Trong đó x, y, z là các số dương thỏa mãn x.y.z=8

II. Phần riêng (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần)

A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu 6a (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng có phương trình: x + y + 1 = 0 (d_1) và 2x-y-1=0 (d_2)

Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1;1) cắt (d_1), (d_2) tương ứng tại A, B sao cho 2\overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}

2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x+2y-2z+1=0 và hai điểm A(1;7;-1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P).

Câu 7a. (1 điểm) Kí hiệu x_1, x_2 là nghiệm phức của phương trình bậc hai 2x^2-2x+1 = 0. Tính giá trị của các số phức \dfrac{1}{x_1^2} và \dfrac{1}{x^2_2}

B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu 6b (2 điểm)

1. Cho đường tròn có phương trình x^2 + y^2 -2x-2y-3=0 (C) và điểm M(0;2). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.

2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3). Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC.

Câu 7b (1 điểm)

Tìm các giá trị của x biết rằng trong khai triển nhị thức Newton: \left(\sqrt{2^{lg(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)lg3}} \right)^n số hạng thứ 6 bằng 21 và C_n^1 + C_n^3=2C_n^2

Đăng trong Lớp 12 | 4 phản hồi »

Các bài toán hình ôn thi học kì II và thi vào lớp 10

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 3, 2009

Hình học là phần học sinh thường thấy e ngại nhất trong các kì thi học kì cũng như thi vào lớp 10. Câu cuối cùng của bài hình thường là câu khó dùng để phân loại học sinh. Hơn nữa cách trình bày trong bài toán hình cũng rất quan trọng và vấn đề  khó khăn là trình bày sao cho vừa logic vừa ngắn gọn.

Chúng tôi xin cung cấp cho các em học sinh một số bài toán hình cùng với lời giải chi tiết để giúp các em ôn thi tốt hơn trong các kì thi sắp tới.

(Các em hãy chú ý các bài toán 9,10,11 – đó là các dạng hay ra trong các kì thi vào lớp 10).

Download dưới đây.

Đề và bài giải các bài toán ôn thi học kì II và thi vào lớp 10

Đăng trong Lớp 9 | 3 phản hồi »