Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH

423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM (gần nhà thờ Phú Bình). ĐT: (08) 7305 7668

Archive for the ‘Hình tọa độ’ Category

Các bài toán cực trị trong hình học tọa độ phẳng và không gian (Phần 1)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 20, 2009

Trong bài viết này tôi xin giới thiệu một số dạng toán cực trị trong phương pháp tọa độ (mặt phẳng và không gian).

I. Cực trị trong mặt phẳng

1. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng

Bài 1. Cho đường thẳng (d): x + y + 1 = 0 và hai điểm A(2;3), B(2;0). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho:

a) MA + MB nhỏ                b) |MA - MB| lớn nhất

Hướng dẫn giải

Trước tiên ta kiểm tra A, B nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng (d). Ta có:

(x_A + y_A + 1)(x_B+y_B+1) = (2+3+1)(2+0+1) = 18 > 0

Suy ra A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng (d).

a) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d) và H là giao điểm của AA' với (d). Khi đó H là trung điểm của AA'.

Phương trình đường thẳng (AA'): 1.(x-2) - 1.(y-3) = 0 hay x - y + 1 =0

Tọa độ của H là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+y + 1 = 0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.

Suy ra tọa độ A'(-4;-3)

Gọi M_o là giao điểm của A'B và (d)

Phương trình đường thẳng (A'B): 1.(x-2) - 2.(y-0) = 0 hay x - 2y - 2 = 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+y + 1 = 0}\\{x-2y-2=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=0}\\{y=-1}\end{array}\right.

Khi đó M(0;-1) là điểm cần tìm. Thật vậy:

Với mọi điểm M' \in (d) ta có M'A + M'B = M'A' + M'B \ge A'B = MA + MB và dấu = xảy ra khi và chỉ khi M' \equiv M

b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau:

Ta có |MA - MB| \le AB. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB. Mà A, B cùng phía đối với đường thẳng (d) nên điểm M cần tìm chính là giao của đường thẳng AB và đường thẳng (d)

Phương trình đường thẳng (AB): x = 2. Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là M(2;-3)

Bài 2. Cho đường thẳng (d): x + 2y - 2 = 0 và hai điểm A(2;0), B(-2;6). Tìm điểm N trên đường thẳng (d) sao cho:

a) NA + NB là nhỏ nhất           c) |NA-NB| lớn nhất

Hướng dẫn giải

Trước tiên ta kiểm tra A, B cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có

(x_A+2y_A-2)(x_B+2y_B-2) = (1-2.0-2)(1. (-2) + 2.6 - 2) = -8 < 0, suy ra A, B khác phía đối với đường thẳng (d)

a) Ta có NA + NB \ge AB và dấu  “=”  xảy ra khi và chỉ khi N nằm giữa A, B hay N là giao của đường thẳng AB và (d) (Vì A, B khác phía đối với đường thẳng (d)).

Phương trình đường thẳng (AB): 2x + y - 2 = 0

Tọa điểm N là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+2y -2 = 0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=\dfrac{2}{3}}\\{y=\dfrac{2}{3}}\end{array}\right.

Vậy N(\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}) là điểm cần tìm.

b) Để ý rằng A, B là khác phía đối với đường thẳng (d) nên khi áp dụng bất đẳng thức |NA-NB| \le AB thì  không tồn tại N \in (d) để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải làm như sau:

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng (d).Khi đó ta có

|NA-NB| = |NA'-NB| \le |A'B|. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi N thuộc đường thẳng AB và nằm ngoài đoạn thẳng AB hay N là giao điểm của A'B và (d)

Ta tính được tọa độ điểm A' là A'\left(\dfrac{7}{5}, \dfrac{4}{5}\right)

Phương trình đường thẳng (A'B): 26 (x+2) +17(y-6)=0 hay 26x - 17y - 53 = 0

Suy ra tọa độ của điểm N là nghiệm của hệ:

\left\{\begin{array}{c}{x+2y -2 = 0}\\{26x-17y+-53=0}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=\dfrac{74}{35}}\\{y=\dfrac{2}{35}}\end{array}\right.

Vậy tọa độ điểm N cần tìm là N\left(\dfrac{74}{35}; \dfrac{2}{35}\right)

Bài 3. Cho đường thẳng (d): x + y + 1 = 0   và hai điểm A(2;3), B(-4;1). Tìm điểm M trên đường thẳng (d) sao cho:

a) |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}| nhỏ nhất.     b) 2MA^2 + 3MB^2 nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

a) Gọi I  là trung điểm của AB. Khi đó ta có:

|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |2\overrightarrow{MI}| = 2MI

Vậy |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}| nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của I trên (d).

Tọa độ điểm I(-1;2)

Phương trình đường thẳng (d') qua I và vuông góc với (d) là: x - y + 3 = 0

Khi đó M cần tìm chính là giao điểm của (d) và (d'). Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

\left\{\begin{array}{c}{x + y + 1 = 0}\\{x- y + 3 = 0}\end{array} \right.   \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.

Vậy M(-2;1) là điểm cần tìm.

b) Gọi điểm J là điểm thỏa 2\overrightarrow{JA} + 3\overrightarrow{JB} = 0.

Khi đó ta có 2MA^2 + 3MB^2 = 2(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JA})^2+3(\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{JB})^2

= 5MJ^2 + 2JA^2 + 3JB^2 + 2\overrightarrow{MJ}(2\overrightarrow{JA} + 3\overrightarrow{JB})

= MJ^2 + 2JA^2 + 3JB^2

Ta có J là cố định, nên 2JA^2 +3JB^2 không đổi. Do đó 2MA^2 + 3MB^2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MJ nhỏ nhất, khi đó M là hình chiếu của J trên đường thẳng (d)

Tọa độ điểm J\left(\dfrac{-8}{5};\dfrac{9}{5}\right)

Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M\left(\dfrac{-11}{5};\dfrac{6}{5}\right)

Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng |\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB}| hoặc \alpha MA^2 + \beta MB^2

(Còn nữa)

Đăng trong Chuyên đề THPT, Hình học, Hình tọa độ, Lớp 10 | Tagged: , , | 3 phản hồi »