Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH

423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, Tp.HCM (gần nhà thờ Phú Bình). ĐT: (08) 7305 7668

Archive for the ‘Số phức’ Category

Số phức (tt)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 28, 2009

III. Dạng lượng giác của số phức.

1. Chuyển đổi ra dạng lượng giác của các số phức

Ví dụ 1. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác

a) z = 2i                      b) z = 1 + i \sqrt{3}                          c) z= -\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \dfrac{i \sqrt{2}}{2}

Hướng dẫn giải

Chú ý:

Để chuyển đổi một số phức dạng đại số z = x + yi sang dạng lượng giác z = r \cos \alpha + r \sin \alpha (trong đó r = |z| là modul của số phức và \alpha = Arg z ta làm như sau:

  • Tính modul của z : r = |z| =\sqrt{a^2+b^2}
  • Tìm Argumen  của z bằng cách sau: Đặt \alpha = Arg z (0 \le \alpha \le 2 \pi)  thì \cos \alpha = \dfrac{a}{r}, \sin \alpha = \dfrac{b}{r}

a) Ta có |z| = 2.

Đặt \alpha = Arg z thì \sin \alpha =\dfrac{2}{2} = 1 \cos \alpha =\dfrac{0}{2}=0. Suy ra \alpha = \dfrac{\pi}{2}

Vậy z = 2 \cos \dfrac{\pi}{2} + 2 \sin \dfrac{\pi}{2}

b) r =|z| = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = 2

Đặt \alpha = Arg z thì \sin \alpha = \dfrac{1}{2}, \cos \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. Ta chọn \alpha = \dfrac{\pi}{6}

Vậy z = 2 \cos \dfrac{\pi}{6} + 2 \sin\dfrac{\pi}{6}

c) r= |z| = \sqrt{\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1

Đặt \alpha = Arg z thì \cos \alpha = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}, \sin \alpha = \dfrac{-\sqrt{2}}{2}. Chọn \alpha = \dfrac{3\pi}{2}. Khi đó ta có: z = \cos \dfrac{3 \pi}{2} + i \sin \dfrac{3 \pi}{2}

Ví dụ 2. Tìm dạng lượng giác của số phức z = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha (0 \le \alpha \le 2 \pi)

Hướng dẫn giải

Ta cóz = 1 + \cos \alpha + i \sin \alpha = 2 \cos^2 \dfrac{\alpha}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2} \cos \dfrac{\alpha}{2}

Nếu 0 \le \alpha \le \pi thì 0 \le \dfrac{\alpha}{2} \le \dfrac{\pi}{2}, suy ra \cos \dfrac{\alpha}{2} \ge 0. Do đó, dạng lượng giác của z:

z = 2 \cos \dfrac{\alpha}{2} \left( \cos \dfrac{\pi}{2} + i \sin \dfrac{\alpha}{2}\right)

Với r = |z| = \cos \dfrac{\alpha}{2} và Arg z = \dfrac{\alpha}{2}

Nếu \pi \le \alpha \le 2 \pi thì \dfrac{\pi}{2} \le \dfrac{\alpha}{2} \le \pi, suy ra \cos \dfrac{\alpha}{2} \le 0.

Khi đó dạng lượng giác của z là z = -2 \cos \dfrac{\alpha}{2} (- \cos \dfrac{\alpha}{2} - i \sin \dfrac{\alpha}{2})

= -2 cos \dfrac{\alpha}{2} (\cos (\dfrac{\alpha}{2} + \pi) + i \sin (\dfrac{\alpha}{2} + \pi))

Với z = |z| = -2 \cos \dfrac{\alpha}{2}, Arg z = \dfrac{\alpha}{2} + \pi

Bài tập.

Bài 1. Chuyển đổi các số phức sau ra dạng lượng giác

a) z = 6 + 6 \sqrt{3} i          b) z = \dfrac{-1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2}

c) z= 3 - 2i

Bài 2. Chuyển các số phức sau sang dạng lượng giác

a) z = \cos a - i \sin a        b) z = \sin a + i (1 + \cos a)          c) \cos a + \sin a + i (\sin a - \cos a)

Bài 3. Tính (1 - \cos \alpha + i \sin \alpha)^n với \alpha \in [0, 2 \pi), n \in N

Đăng trong Chuyên đề THPT, Lớp 12, Số phức | Tagged: , , | Leave a Comment »

Số phức (tt)

Đăng bởi vulalach on Tháng Ba 18, 2009

II. Các bài toán về phương trình

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) z^2 = 2i                  b) z^2 + z+ 2 = 0                   c) z^2 + z+ \dfrac{\sqrt{3}}{4} i = 0

Bài 2. a) Tìm các số thực b,c để phương trình z^2 + bz+c =0 nhận z = 1 + i làm nghiệm. Chứng minh khi đó nghiệm còn lại là 1 - i

b) Cho phương trình z^3 + (3+i)z^2 -3z -(m+i)=0 (1) , trong đó m là số thực.

1. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thực.

2. Tìm m để phương trình nhận z = 1 + i là nghiệm.

Hướng dẫn giải

Chú ý:

  1. Cách giải phương trình bậc hai hệ số phức az^2 + bz+ c= 0

Bước 1. Đặt \triangle = b^2 - 4ac (hoặc \triangle ' = b'^2 - ac)

Bước 2. Tìm một căn bậc hai \delta của \triangle.

Bước 3. Phương trình có hai nghiệm z_1 = \dfrac{-b+\delta}{2a} và z_2=\dfrac{-b-\delta}{2a}

2.   Cách tìm căn bậc hai của z = a+bi. Tức là tìm z' sao cho z'^2=a+bi

Đặt z' = x+yi (x,y \in R). Ta có a+ bi = z'^2= (x+yi)^2= (x^2-y^2) + 2xyi

Suy ra (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=a}\\{2xy}=b\end{array}\right.

Ta tìm các số thực x, y thỏa hệ (I)

Bài 1.

a) Ta đi tìm căn bậc hai của 2i. Đặt z = x+yi, trong đó x, y là các số thực. Khi đó ta có hệ (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=0 \,\,(1)}\\{2xy}=2 \,\,(2)\end{array}\right.

Từ (1), \Rightarrow x=\pm y

Trường hợp 1: x = y, thế vào (2) ta có x^2= 1 \Rightarrow x = 1 hoặc x = -1

  • Với x = 1 thì y = 1
  • Với x = -1 thì y = -1

Trường hợp 2: x = - y thế vào (2) ta có x^2 = -1 (không tồn tại x vì x \in R

Vậy phương trình có hai nghiệm z_1 = 1+i, z_2 = -1-i

b) Ta có \triangle = 1^2-4.2 = -7 = (\sqrt{7} i)^2

Vậy phư ơng trình có hai nghiệm

z_1 =\dfrac{-1+i\sqrt{7}}{2} , z_2 = \dfrac{-1-i\sqrt{7}}{2}

c)Ta có  \triangle = 1 - i \sqrt 3

Ta đi tìm một căn bậc hai \delta của \triangle

Đặt \delta = x+yi

Khi đó ta có hệ (I) \left\{\begin{array}{c}{x^2-y^2=1 \,\,(1)}\\{2xy}=\sqrt{3} \,\,(2)\end{array}\right.

Thế y = \dfrac{\sqrt{3}}{2x} vào (1), ta có x^2- \dfrac{3}{4x^2} = 1

4x^4-4x^2-3=0

\left[\begin{array}{c}{x^2=\dfrac{3}{2}}\\{ x^2=-\dfrac{1}{2} (l)}\end{array}\right.

Với x^2 = \dfrac{3}{2}   suy ra  x =\pm \dfrac{\sqrt 6}{2}

Với x = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow y = \dfrac{\sqrt 2}{2}

Chọn \delta = \dfrac{\sqrt 6}{2} + \dfrac{i\sqrt{2}}{2}. Phương trình có hai nghiệm

z_1=\dfrac{-1+\dfrac{\sqrt 6}{2}+\dfrac{i\sqrt 2}{2}}{2}, z_2=\dfrac{-1-\dfrac{\sqrt 6}{2}-\dfrac{i\sqrt 2}{2}}{2}

Bài 2. a) Vì z = 1+i   là nghiệm của phương trình nên ta có (1+i)^2 + b(1+i) + c = 0.

Hay (b+c) +(2+b)i = 0

Suy ra b+c = 0 vàb+2 = 0

Giải ra ta được b = -2, c = 2 Vậy phương trình trở thành z^2 -2z+2 = 0

\triangle ' = 1-2=-1=i^2

Phương trình có hai nghiệm z_1 =1+i, z_2=1-i

b) Giả sử a \in R là một nghiệm thực của phương trình (1). Khi đó ta có:

a^3 +(3+i)a^2 - 3a - (m+i)=0

\Leftrightarrow (a^3+3a^2-3a-m) + (a^2-1)i = 0

\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c}{a^2-1=0}\\{a^3+3a^2-3a-m=0}\end{array}\right.

Giải hệ ta được m = 1 hoặc m = 5

2. Vì z=1+i là nghiệm của phương trình nên ta có:

\Leftrightarrow (1+i)^3 +(3+i)(1+i)^2 -3(1+i) -(m+i)=0

\Leftrightarrow (1 -3+3i -i) + (3+i)(2i) - (3+3i) -(m+i) =0

\Leftrightarrow (-2+2i) +(-2 + 6i) -(3+3i) -(m+i)=0

\Leftrightarrow (-m-7) +4i = 0

Ta có 4 \neq 0 nên không tồn tại m để phương trình (1) nhận z = 1+ i là nghiệm.

II. Bài tập rèn luyện

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) iz^2+(1+2i)z+1=0             b) (1+i)z^2 + 2z + 11i = 0

c) z^4 + 6(1+i)z^2 + 5+ 6i = 0

Bài 2 Tìm các số phức z thỏa

a) |z| - 2z = 3 - 4i                 b) z^3 = 2+ 11i

Bài 3. Tìm b để phương trình (1-i)z^2 + 2(3-2i)z-12 -bi = 0 có một nghiệm phức là z_1 = 1+ i

Hãy tìm nghiệm còn lại. (đề thi thử khối B trường Phổ Thông Năng Khiếu 2009)

Đăng trong Chuyên đề THPT, Lớp 12, Số phức | Tagged: , , | Leave a Comment »